켈리의 공식_머니 사이언스

'켈리의 공식'은 유리한 내기에서 여러분의 밑천을 다음과 같은 비율로 나눠 걸어야 한다고 말하고 있다.

 

우위 / 배당률

 

'우위'란 똑같은 확률로 주어진 이 내기를 계속할 수 있다고 가정할 때, 여러분이 평균적으로 딸 수 있다고 생각되는 기댓값이다. 이익은 언제나 돈에 비례하기 때문에 이 값은 비례값이다.

 

'배당률'은 일반 대중이 생각하는 배당률, 즉 전광판에 게시된 배당률을 의미한다. 이것은 여러분이 이겼을 때 얻는 수익률이다. 배당률은 가령 8:1 따위로 게시되는데, 이것은 이긴 베터가 건 돈의 8배 더하기 원금을 돌려받는다는 뜻이다.

 

켈리의 공식에서 배당률이 반드시 좋은 확률의 척도라고 할 수는 없다. 배당률은 시장의 힘에 의해, 우승확률에 관한 다른 모든 사람들의 신념이 합쳐져서 정해진다. 이러한 신념은 틀릴 수 있다. 사실 켈리의 도박가가 우위를 가지기 위해서는 이 신념이 틀려야 한다. 배당률은 켈리 도박가의 내부정보에서는 변수가 아니다. 

 

 

예를 들어, 시크릿태리어트라는 말의 전광판 배당률이 5:1이라고 하자. 배당률은 비례값이다. 5:1이란 1분의 5, 즉 5를 의미한다. 여러분은 이것만 알면 된다.

 

사설통신의 정보에 의거하여 여러분은 시크릿태리어트가 실제로는 3분의 1의 우승확률을 갖고 있다고 확신한다. 이것은 시크릿태리어트에 100달러를 걸 때 여러분이 600달러를 딸 확률이 3분의 1이라고 확신한다는 것이다. 따라서 평균적으로는 이 베팅은 200달러의 가치가 있으며, 기대되는 순이익은 100달러다. 이때, 우위는 수익금 100달러를 건 돈 100달러로 나눈 값, 즉 2이다.

 

결국 켈리의 공식에서 우위 / 배당률 = 1/5이다. 이것은 여러분이 밑천의 5분의 1을 시크릿태리어트에 걸어야 한다는 뜻이다.

 

몇 가지 관찰이 이 공식을 이해하는 데 도움이 될 것이다. 첫째, 여러분이 사설통신을 갖고 있지 않을 경우 여러분의 우위는 0 혹은 마이너스다. 여러분이 아무런 '내부정보'도 갖고 있지 않다는 것은 여러분만 아는 정보가 없다는 뜻을 뜻한다. 따라서 여러분의 우위는 0(경마장 공제금을 고려해야 하기 때문에 실제로는 마이너스)이다. 우위가 0인 경우, 켈리의 내기에서의 우위 / 배당률 = 0이다. 따라서 이때는 돈을 걸지 말아야 한다.

 

 

조작된 경마에서는 우위는 배당률과 똑같다. 여러분이 사설통신으로부터 알아낼 수 있는 가장 유용한 정보는 경마가 조작되었으며, 그리고 아무개 말이 우승할 것이 사실상 확실하다는 정보다. 조작된 경마에서 여러분이 얼마를 벌 수 있는지는 순전히 배당률에 달려 있다.

 

확실하게 이길 말의 배당률이 낮을수록 좋다. 30:1의 승률에서 100달러를 걸면 3,000달러의 수익을 거둘 것이다. 즉, 배당률은 30이다. 우위 역시 3,000 / 100, 즉 30이다. 어떤 말이 승리할 것이 틀림없다면, 여러분의 우위와 일반 대중의 배당률은 같다(위 경우는 30). 따라서 켈리의 공식에 따르면 걸어야 할 돈은 30 / 30, 즉 100%다. 가진 것을 다 건다.

 

경마를 조작한 사람들이 언제나 믿을 만한 것은 아니라고 의심하지 않는다면 정말 그렇게 해야 한다. 여러분의 추정 우위를 줄이고, 여러분이 거는 돈을 줄이는 것은 '애매도'이다.

 

Reference

머니 사이언스. 윌리엄 파운드스톤 저. 김현구 역. 동녘사이언스

 

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